Strona główna » Teoria » Elementy Prądu Zmiennego

Elementy Prądu Zmiennego

Posted luty 12th, 2008 by mirley

Zawarte tutaj wyprowadzenia i zależności dotyczą analizy obwodów prądu przemiennego w stanie ustalonym. Wszystkie sygnały są przebiegami sinusoidalnymi.

Rzeczywistą postać sygnału: S = A \ sin(\omega t + \varphi) zastępujemy notacją zespoloną postaci:

\bar S = Ae^{j(\omega t +\varphi)} = Ae^{j \varphi} e^{j \omega \varphi}

A zatem sygnał rzeczywisty jest częścią urojoną z sygnału w postaci zespolonej:

S = \Im \bar S = \Im (cos(\omega t +\varphi)+ j sin(\omega t +\varphi))

Napięcie i prąd mają postać:

\bar U = \bar U_0(j \omega) e^{j \omega t}

\bar I = \bar I_0(j \omega) e^{j \omega t}

gdzie \bar U_0(j \omega) oraz \bar I_0(j \omega) są amplitudami zespolonymi napięcia i prądu zależnymi od częstości \omega i fazy \varphi sygnału.

1. Rezystor
Rezystory w obwodzie prądu przemiennego są odpowiedzialne za rozpraszanie mocy czynnej. Nie magazynują energii elektrycznej. Ich impedancja zespolona Z_R jest równa rezystancji R.

2. Kondensator
Kondensatory mogą pobierać, magazynować a następnie oddawać energię elektryczną. Prąd płynący przez kondensator spełnia zależność:

i = C \frac {dU} {dt}

gdzie C jest pojemnością kondensatora. Jednostką pojemności jest 1F (Farad)

Na podstawie powyższego wzoru oraz wprowadzonych wcześniej zależności wyprowadzamy wzór na impedancję kondensatora Z_C :

\bar I = C \frac {d \bar U} {dt}

\bar I_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = C \frac {d} {dt} (\bar U_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t})

\bar I_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = C \bar U_0(j \omega) \cdot j \omega e^{j \omega t}

Po uproszczeniu stronami przez wektor wirujący e^{j \omega t} otrzymujemy:

\bar I_0(j \omega) = j \omega C \cdot \bar U_0(j \omega)

\frac {1} {j \omega C} = \frac {\bar U_0(j \omega)} {\bar I_0(j \omega)} = Z_C

Z_C = \frac {1} {j \omega C} = -j \frac {1} {\omega C}

3. Cewka
Cewki podobnie jak kondensatory mogą pobierać, magazynować a następnie oddawać energię elektryczną. Napięcie na cewce spełnia zależność:

U = L \frac {di} {dt}

gdzie L jest indukcyjnością cewki. Jednostką indukcyjności jest 1H (Henr).

Na podstawie powyższego wzoru oraz wprowadzonych wcześniej zależności wyprowadzamy wzór na impedancję cewki Z_L :

\bar U = L \frac {d \bar I} {dt}

\bar U_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = L \frac {d} {dt} (\bar I_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t})

\bar U_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = L \bar I_0(j \omega) \cdot j \omega e^{j \omega t}

Po uproszczeniu stronami przez wektor wirujący e^{j \omega t} otrzymujemy:

\bar U_0(j \omega) = j \omega L \cdot \bar I_0(j \omega)

j \omega L = \frac {\bar U_0(j \omega)} {\bar I_0(j \omega)} = Z_L

Z_L = j \omega L

Obliczanie obwodów prądu przemiennego:

Przykład 1:

W poniższym obwodzie zadaniem jest obliczenie napięcia na kondensatorze. Napięcie zasilające jest równe: E = E_0 sin(\omega t) .

Zapisujemy źródło napięcia w postaci zespolonej:

E = \bar E_0 e^{j \omega t} = E_0 e^{j \varphi} e^{j \omega t}

W dalszej części obliczeń pomijamy wektor wirujący e^{j \omega t} , uwzględniając w obliczeniach tylko amplitudę zespoloną \bar E_0 = E_0 e^{j \varphi} . Po dokonaniu obliczeń pomnożymy wynik przez wektor wirujący i wyliczymy część urojoną rozwiązania, uzyskując wynik końcowy.

W naszym przykładzie \varphi = 0 a zatem \bar E_0 = E_0 e^{j 0} = E_0 .

Korzystając z Prawa Ohma mamy:

\bar I = \frac {\bar E_0} {R + \frac {1} {j \omega C}}

oraz:

\bar U_C = \frac {1} {j \omega C} \bar I

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

\bar U_C = \bar E_0 \frac { \frac {1} {j \omega C}} {R + \frac {1} {j \omega C}}

\bar U_C = \bar E_0 \frac {1} {1+ j \omega C R}

Mnożymy \bar U_C przez wektor wirujący e^{j \omega t} oraz korzystamy z faktu że \bar E_0 = E_0 e^{j 0} = E_0 otrzymując:

\bar U_C = E_0 \frac {1} {1+ j \omega C R} e^{j \omega t}

a następnie sprowadzamy do postaci wykładniczej:

\bar U_C = \frac {E_0} {\sqrt{1+ {\omega}^2 C^2 R^2}} e^{j (\omega t - arc tg(\omega C R))}

Ostateczny wynik w postaci rzeczywistej otrzymujemy biorąc część urojoną z \bar U_C :

U_C = \Im \bar U_C = \Im \frac {E_0} {\sqrt{1+ {\omega}^2 C^2 R^2}} e^{j (\omega t - arc tg(\omega C R))} = \frac {E_0} {\sqrt{1+ {\omega}^2 C^2 R^2}} sin(\omega t - arc tg(\omega C R))

Przykład 2:

W obwodzie przedstawionym na rysunku poniżej zadaniem jest również obliczenie napięcia na kondensatorze. Napięcia zasilające są równe: E1 = E_0 sin(\omega t) oraz E2 = E_0 cos(\omega t) = E_0 sin(\omega t + \frac {\pi} {2}).

Zapisujemy źródła napięciowe w postaci zespolonej, pomijając wektory wirowe tak jak w poprzednim przykładzie:

\bar E_1 = E_0 e^{j 0} = E_0

\bar E_2 = E_0 e^{j \frac {\pi} {2}}

Korzystamy z metody potencjałów węzłowych i zapisujemy równanie:

[\frac {1} {R_1} + \frac {1} {R_2} + j \omega C] \cdot \bar U_C = \frac {\bar E_1} {R_1} + \frac {\bar E_2} {R_2}

Dalsza część obliczeń jest analogiczna do tych w pierwszym przykładzie. Po wyliczeniu szukanej wartości w postaci amplitudy zespolonej, mnożymy całość przez wektor wirujący e^{j \omega t} i bierzemy część urojąną z tego wyrażenia, uzyskując wynik końcowy w postaci rzeczywistej.

Odpowiedz

Zawartość tego pola nie będzie udostępniana publicznie.

Powered by Drupal - Design by artinet