Mirley - Elektronika i Programowanie

Zawarte tutaj wyprowadzenia i zależności dotyczą analizy obwodów prądu przemiennego w stanie ustalonym. Wszystkie sygnały są przebiegami sinusoidalnymi.

Rzeczywistą postać sygnału: $ S = A \ sin(\omega t + \varphi) $ zastępujemy notacją zespoloną postaci:

$$\bar S = Ae^{j(\omega t +\varphi)} = Ae^{j \varphi} e^{j \omega t} $$

A zatem sygnał rzeczywisty jest częścią urojoną z sygnału w postaci zespolonej:

$$ S = \Im \bar S = \Im (cos(\omega t +\varphi)+ j sin(\omega t +\varphi))$$

Napięcie i prąd mają postać:

$$\bar U = \bar U_0(j \omega) e^{j \omega t} $$

$$\bar I = \bar I_0(j \omega) e^{j \omega t} $$

gdzie $ \bar U_0(j \omega) $ oraz $ \bar I_0(j \omega) $ są amplitudami zespolonymi napięcia i prądu zależnymi od częstości $ \omega$ i fazy $ \varphi $ sygnału.

1. Rezystor

Rezystory w obwodzie prądu przemiennego są odpowiedzialne za rozpraszanie mocy czynnej. Nie magazynują energii elektrycznej. Ich impedancja zespolona $Z_R$ jest równa rezystancji $R$.

2. Kondensator

Kondensatory mogą pobierać, magazynować a następnie oddawać energię elektryczną. Prąd płynący przez kondensator spełnia zależność:

$$ i = C \frac {dU} {dt}$$

gdzie $ C $ jest pojemnością kondensatora. Jednostką pojemności jest 1F (Farad)

Na podstawie powyższego wzoru oraz wprowadzonych wcześniej zależności wyprowadzamy wzór na impedancję kondensatora $ Z_C $:

$$\bar I = C \frac {d \bar U} {dt} $$

$$\bar I_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = C \frac {d} {dt} (\bar U_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t})$$

$$\bar I_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = C \bar U_0(j \omega) \cdot j \omega e^{j \omega t}$$

Po uproszczeniu stronami przez wektor wirujący $ e^{j \omega t} $ otrzymujemy:

$$\bar I_0(j \omega) = j \omega C \cdot \bar U_0(j \omega) $$

$$\frac {1} {j \omega C} = \frac {\bar U_0(j \omega)} {\bar I_0(j \omega)} = Z_C $$

$$Z_C = \frac {1} {j \omega C} = -j \frac {1} {\omega C}$$

3. Cewka

Cewki podobnie jak kondensatory mogą pobierać, magazynować a następnie oddawać energię elektryczną. Napięcie na cewce spełnia zależność:

$$ U = L \frac {di} {dt}$$

gdzie $ L $ jest indukcyjnością cewki. Jednostką indukcyjności jest 1H (Henr).

Na podstawie powyższego wzoru oraz wprowadzonych wcześniej zależności wyprowadzamy wzór na impedancję cewki $ Z_L $:

$$\bar U = L \frac {d \bar I} {dt} $$

$$\bar U_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = L \frac {d} {dt} (\bar I_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t})$$

$$\bar U_0(j \omega) \cdot e^{j \omega t} = L \bar I_0(j \omega) \cdot j \omega e^{j \omega t}$$

Po uproszczeniu stronami przez wektor wirujący $ e^{j \omega t} $ otrzymujemy:

$$\bar U_0(j \omega) = j \omega L \cdot \bar I_0(j \omega) $$

$$ j \omega L = \frac {\bar U_0(j \omega)} {\bar I_0(j \omega)} = Z_L $$

$$Z_L = j \omega L $$

Obliczanie obwodów prądu przemiennego:

Przykład 1:

W poniższym obwodzie zadaniem jest obliczenie napięcia na kondensatorze. Napięcie zasilające jest równe: $ E = E_0 sin(\omega t) $.

Zapisujemy źródło napięcia w postaci zespolonej:

$$ E = \bar E_0 e^{j \omega t} = E_0 e^{j \varphi} e^{j \omega t} $$

W dalszej części obliczeń pomijamy wektor wirujący $ e^{j \omega t} $, uwzględniając w obliczeniach tylko amplitudę zespoloną $ \bar E_0 = E_0 e^{j \varphi} $. Po dokonaniu obliczeń pomnożymy wynik przez wektor wirujący i wyliczymy część urojoną rozwiązania, uzyskując wynik końcowy.

W naszym przykładzie $ \varphi = 0 $ a zatem $ \bar E_0 = E_0 e^{j 0} = E_0 $.

Korzystając z Prawa Ohma mamy:

$$ \bar I = \frac {\bar E_0} {R + \frac {1} {j \omega C}}$$

oraz:

$$\bar U_C = \frac {1} {j \omega C} \bar I $$

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

$$\bar U_C = \bar E_0 \frac { \frac {1} {j \omega C}} {R + \frac {1} {j \omega C}} $$

$$\bar U_C = \bar E_0 \frac {1} {1+ j \omega C R} $$

Mnożymy $ \bar U_C $ przez wektor wirujący $ e^{j \omega t} $ oraz korzystamy z faktu że $ \bar E_0 = E_0 e^{j 0} = E_0 $ otrzymując:

$$\bar U_C = E_0 \frac {1} {1+ j \omega C R} e^{j \omega t} $$

a następnie sprowadzamy do postaci wykładniczej:

$$\bar U_C = \frac {E_0} {\sqrt{1+ {\omega}^2 C^2 R^2}} e^{j (\omega t - arc tg(\omega C R))} $$

Ostateczny wynik w postaci rzeczywistej otrzymujemy biorąc część urojoną z $ \bar U_C $:

$$U_C = \Im \bar U_C = \Im \frac {E_0} {\sqrt{1+ {\omega}^2 C^2 R^2}} e^{j (\omega t - arc tg(\omega C R))} = \frac {E_0} {\sqrt{1+ {\omega}^2 C^2 R^2}} sin(\omega t - arc tg(\omega C R)) $$

Przykład 2

W obwodzie przedstawionym na rysunku poniżej zadaniem jest również obliczenie napięcia na kondensatorze. Napięcia zasilające są równe: $ E1 = E_0 sin(\omega t) $ oraz $ E2 = E_0 cos(\omega t) = E_0 sin(\omega t + \frac {\pi} {2})$.

Zapisujemy źródła napięciowe w postaci zespolonej, pomijając wektory wirowe tak jak w poprzednim przykładzie:

$$\bar E_1 = E_0 e^{j 0} = E_0$$

$$\bar E_2 = E_0 e^{j \frac {\pi} {2}} $$

Korzystamy z metody potencjałów węzłowych i zapisujemy równanie:

$$ [\frac {1} {R_1} + \frac {1} {R_2} + j \omega C] \cdot \bar U_C = \frac {\bar E_1} {R_1} + \frac {\bar E_2} {R_2}$$

Dalsza część obliczeń jest analogiczna do tych w pierwszym przykładzie. Po wyliczeniu szukanej wartości w postaci amplitudy zespolonej, mnożymy całość przez wektor wirujący $ e^{j \omega t} $ i bierzemy część urojoną z tego wyrażenia, uzyskując wynik końcowy w postaci rzeczywistej.